طريقة حساب مساحة وحجم الأشكال الهندسية المختلفة.

في الرياضيات والهندسة والعلوم، ستحتاج غالبًا إلى حساب مساحة السطح أو حجم أو محيط مجموعة متنوعة من الأشكال الهندسية.

سواء كان شكل كرة أو دائرة، مستطيل أو مكعب، هرم أو مثلث، كل شكل له صيغ محددة يجب عليك اتباعها للحصول على القياسات الصحيحة.

سنقوم بشرح الصيغ التي ستحتاجها لمعرفة مساحة وحجم الأشكال ثلاثية الأبعاد بالإضافة إلى مساحة ومحيط الأشكال ثنائية الأبعاد.

يمكنك دراسة هذه المقالة لتتعلم كل صيغة، ثم احتفظ بها للحصول على مرجع سريع في المرة القادمة التي تحتاجها فيها. الجميل في الأمر هو أن كل صيغة تستخدم العديد من نفس القياسات الأساسية، لذا فإن تعلم صيغة جديدة سيكون أسهل قليلاً.

مساحة سطح وحجم الكرة.

تُعرف الدائرة ثلاثية الأبعاد باسم الكرة. من أجل حساب مساحة السطح أو حجم الكرة، تحتاج إلى معرفة نصف القطر (r).

نصف القطر هو المسافة من مركز الكرة إلى الحافة وهي دائمًا ثابتة، بغض النظر عن النقاط الموجودة على حافة الكرة التي تقيس منها. بمجرد أن تحصل على نصف القطر، تصبح الصيغ سهلة التذكر.

تمامًا كما هو الحال مع محيط الدائرة، ستحتاج إلى استخدام pi (π). بشكل عام، يمكنك تقريب هذا الرقم اللانهائي إلى 3.14 أو 3.14159 (الكسر المقبول هو 22/7).

مساحة السطح = 4πr2

الحجم = 4/3 πr3

مساحة سطح وحجم المخروط.

المخروط عبارة عن هرم ذو قاعدة دائرية منحدرة من الجانبين وتلتقي عند نقطة مركزية. من أجل حساب مساحة سطحه أو حجمه، يجب أن تعرف نصف قطر القاعدة وطول الضلع.

إذا كنت لا تعرف ذلك، يمكنك إيجاد طول (أطوال) الضلع باستخدام نصف القطر (r) وارتفاع المخروط (h).

ق = √ (r2 + h2)

باستخدام ذلك، يمكنك بعد ذلك إيجاد مساحة السطح الإجمالية، وهي مجموع مساحة القاعدة ومساحة الضلع.

مساحة القاعدة: πr2

منطقة الجانب: πrs

إجمالي مساحة السطح = πr2 + rs

لإيجاد حجم المخروط، ستحتاج إلى نصف القطر (r) والارتفاع (h).

الحجم = 1/3 πr2h

مساحة سطح وحجم الاسطوانة.

ستجد أن استخدام الأسطوانة أسهل بكثير من العمل مع المخروط. هذا الشكل له قاعدة دائرية وجوانب مستقيمة ومتوازية. هذا يعني أنه من أجل إيجاد مساحة سطحه أو حجمه، ما عليك سوى نصف القطر (r) والارتفاع (h).

ومع ذلك، يجب أن تحسب أيضًا كلاً من القمة والقاع، ولهذا السبب يجب ضرب نصف القطر في اثنين لمساحة السطح.

مساحة السطح = 2πr2 + 2πrh

الحجم = πr2h

مساحة سطح وحجم المنشور المستطيل.

يتحول المستطيل ثلاثي الأبعاد إلى منشور مستطيل (أو صندوق). عندما تكون جميع الجوانب متساوية الأبعاد، فإنها تصبح مكعبًا. في كلتا الحالتين، يتطلب إيجاد مساحة السطح والحجم نفس الصيغ.

لهذا، سوف تحتاج إلى معرفة الطول (l) ، الارتفاع (h) ، والعرض (w). في المكعب، ستكون الثلاثة متساوية.

مساحة السطح = 2 (lh) + 2 (lw) + 2 (wh)

الحجم = lhw

مساحة سطح وحجم الهرم.

من السهل نسبيًا التعامل مع الهرم ذي القاعدة المربعة والوجوه المصنوعة من مثلثات متساوية الأضلاع. ستحتاج إلى معرفة قياس طول واحد للقاعدة (b). الارتفاع (h) هو المسافة من القاعدة إلى مركز الهرم. الضلع (s) هو طول وجه واحد من الهرم، من القاعدة إلى النقطة العليا.

مساحة السطح = 2bs + b2

الحجم = 1/3 b2h

هناك طريقة أخرى لحساب ذلك وهي استخدام المحيط (P) والمساحة (A) لشكل القاعدة. يمكن استخدام هذا على هرم له قاعدة مستطيلة بدلاً من قاعدة مربعة.

مساحة السطح = (½ x P x s) + A

الحجم = 1/3 Ah

مساحة سطح وحجم المنشور.

عندما تقوم بالتبديل من هرم إلى منشور مثلثي متساوي الساقين، يجب أن تحسب أيضًا الطول (l) للشكل. تذكر اختصارات القاعدة (b) والارتفاع (h) والجانب (s) لأنها ضرورية لهذه الحسابات.

مساحة السطح = bh + 2ls + lb

الحجم = 1/2 (bh) l

ومع ذلك، يمكن أن يكون المنشور أي مجموعة من الأشكال. إذا كان عليك تحديد مساحة أو حجم المنشور الفردي، فيمكنك الاعتماد على المساحة (A) ومحيط الشكل الأساسي (P).

في كثير من الأحيان، ستستخدم هذه الصيغة ارتفاع المنشور، أو العمق (d) ، بدلاً من الطول (l)، على الرغم من أنك قد ترى أيًا من الاختصارين.

مساحة السطح = 2A + Pd

الحجم = Ad

مساحة قطاع الدائرة.

يمكن حساب مساحة قطاع الدائرة بالدرجات (أو راديان “التقدير الدائري” كما هو مستخدم في كثير من الأحيان في حساب التفاضل والتكامل). لهذا، ستحتاج إلى نصف القطر (r) و pi (π) والزاوية المركزية (θ).

المساحة = θ / 2 r2 (بالتقدير الدائري)

المنطقة = θ / 360 πr2 (بالدرجات)

مساحة القطع الناقص.

يُطلق على القطع الناقص أيضًا شكل بيضاوي وهو، في الأساس، دائرة مستطيلة. المسافات من نقطة المركز إلى الجانب ليست ثابتة، مما يجعل صيغة إيجاد مساحتها صعبة بعض الشيء.

لاستخدام هذه الصيغة، يجب أن تعرف:

محور سيمينور (a): أقصر مسافة بين نقطة المركز والحافة.

المحور شبه الرئيسي (b): أطول مسافة بين نقطة المركز والحافة.

مجموع هاتين النقطتين لا يزال ثابتًا. لهذا السبب يمكننا استخدام الصيغة التالية لحساب مساحة أي قطع ناقص.

المساحة = πab

في بعض الأحيان ، قد ترى هذه الصيغة مكتوبة بـ r1 (نصف القطر 1 أو المحور شبه الرئيسي) و r2 (نصف القطر 2 أو المحور شبه الرئيسي) بدلاً من a و b.

المنطقة = πr1r2

مساحة ومحيط المثلث.

يعتبر المثلث أحد أبسط الأشكال، كما أن حساب محيط هذا الشكل ثلاثي الجوانب سهل نوعًا ما. ستحتاج إلى معرفة أطوال الأضلاع الثلاثة (a ، b ، c) لقياس المحيط بالكامل.

المحيط = a + b + c

لمعرفة مساحة المثلث، ستحتاج فقط إلى طول القاعدة (b) والارتفاع (h)، والذي يتم قياسه من القاعدة إلى قمته. تعمل هذه الصيغة مع أي مثلث، بغض النظر عما إذا كانت الأضلاع متساوية أم لا.

المساحة = 1/2 bh

إقرأ أيضاً… حيل وخدع مذهلة في الرياضيات.

مساحة ومحيط الدائرة.

على غرار الكرة، ستحتاج إلى معرفة نصف قطر الدائرة (r) لمعرفة قطرها (d) ومحيطها (c). ضع في اعتبارك أن الدائرة عبارة عن قطع بيضاوي له مسافة متساوية من نقطة المركز إلى كل جانب (نصف القطر)، لذلك لا يهم أين تقيس على الحافة.

القطر (d) = 2 r

المحيط (c) = πd أو 2πr

يستخدم هذان القياسان في معادلة لحساب مساحة الدائرة. من المهم أيضًا أن تتذكر أن النسبة بين محيط الدائرة وقطرها يساوي pi (π).

المساحة = πr2

مساحة ومحيط متوازي الأضلاع.

متوازي الأضلاع له مجموعتان من الأضلاع المتقابلة التي تعمل بالتوازي مع بعضها البعض. الشكل رباعي الزوايا، لذلك له أربعة جوانب: جانبان بطول واحد (a) وجانبان بطول آخر (b).

لمعرفة محيط أي متوازي أضلاع، استخدم هذه الصيغة البسيطة:

المحيط = 2a + 2b

عندما تحتاج إلى إيجاد مساحة متوازي الأضلاع ، ستحتاج إلى الارتفاع (h). هذه هي المسافة بين ضلعين متوازيين. القاعدة (b) مطلوبة أيضًا وهذا هو طول أحد الجوانب.

المساحة = b h

ضع في اعتبارك أن b في صيغة المساحة ليس هو نفسه b في صيغة المحيط. يمكنك استخدام أي من الأضلاع – التي تم إقرانها في صورة a و b عند حساب المحيط – على الرغم من أننا غالبًا ما نستخدم ضلعًا متعامدًا مع الارتفاع.

إقرأ أيضاً… طريقة حساب الوسيط والمتوسط والمنوال في الرياضيات.

مساحة ومحيط المستطيل.

المستطيل هو أيضا رباعي الزوايا. على عكس متوازي الأضلاع، فإن الزوايا الداخلية تساوي دائمًا 90 درجة. أيضًا، الأضلاع المقابلة لبعضها البعض ستكون دائمًا بنفس الطول. لاستخدام الصيغ للمحيط والمساحة، ستحتاج إلى قياس طول المستطيل (l) وعرضه (w).

المحيط = 2h + 2w

المساحة = h x w

مساحة ومحيط المربع.

المربع أسهل من المستطيل لأنه مستطيل بأربعة جوانب متساوية. هذا يعني أنك تحتاج فقط إلى معرفة طول ضلع واحد (s) لإيجاد محيطه ومساحته.

محيط = 4 s

المنطقة = s 2

مساحة ومحيط شبه المنحرف.

شبه المنحرف عبارة عن رباعي الزوايا يمكن أن يبدو وكأنه أمر صعب، لكنه في الواقع سهل للغاية. لهذا الشكل، ضلعان فقط موازيان لبعضهما البعض، على الرغم من أن الأضلاع الأربعة يمكن أن تكون ذات أطوال مختلفة. هذا يعني أنك ستحتاج إلى معرفة طول كل ضلع (a, b1, b2, c) لإيجاد محيط شبه المنحرف.

المحيط = a + b1 + b2 + c

لإيجاد مساحة شبه منحرف، ستحتاج أيضًا إلى الارتفاع (h). هذه هي المسافة بين الضلعين المتوازيين.

المساحة = 1/2 (b1 + b2) x h

مساحة ومحيط الشكل السداسي.

المضلع سداسي الأضلاع المتساوي الأضلاع هو شكل سداسي منتظم. طول كل ضلع يساوي نصف القطر (ص). على الرغم من أنه قد يبدو شكلًا معقدًا، إلا أن حساب المحيط هو مسألة بسيطة تتمثل في ضرب نصف القطر في الأضلاع الستة.

المحيط = 6r

يعد اكتشاف مساحة الشكل السداسي أكثر صعوبة وسيتعين عليك حفظ هذه الصيغة:

المساحة = (3√3 / 2) r2

مساحة ومحيط الشكل الثماني.

الشكل الثماني المنتظم يشبه الشكل السداسي، رغم أن هذا المضلع له ثمانية أضلاع متساوية. لإيجاد محيط هذا الشكل ومساحته، ستحتاج إلى طول ضلع واحد (a).

المحيط = 8 a

المساحة = (2 + 2√2) a2