في الرياضيات والإحصاء، يشير المعدل إلى مجموع مجموعة القيم مقسومة على n، حيث n هو عدد القيم في المجموعة.
يتم استخدام المعدلات بشكل منتظم لتحديد الدرجات النهائية على مدار فصل دراسي أو فصل دراسي. يتم استخدام المعدلات أيضًا كمقاييس للأداء.
على سبيل المثال، تعبر معدلات الضرب عن عدد المرات التي يضرب فيها لاعب كرة القدم عندما يكون على وشك الضرب. تعبر المسافة المقطوعة بالكيلومترات على الوقود عن المسافة التي تقطعها السيارة عادةً باستخدام جالون من الوقود. في أكثر معانيها العامية، يشير المعدل إلى ما يعتبر شائعًا أو نموذجيًا.
المعدل في الرياضيات.
يتم حساب المعدل في الرياضيات بأخذ مجموع مجموعة القيم وتقسيمها على عدد القيم في المجموعة. يُعرف أيضًا باسم الوسط الحسابي. (الوسائل الأخرى، مثل الوسائل الهندسية والتوافقية، يتم حسابها باستخدام حاصل الضرب والمعاملة المتبادلة للقيم بدلاً من المجموع.)
مع مجموعة صغيرة من القيم، لا يستغرق حساب المعدل سوى بضع خطوات بسيطة.
على سبيل المثال، لنتخيل أننا نريد إيجاد متوسط العمر بين مجموعة من خمسة أشخاص. أعمار كل منهم هي 12 و 22 و 24 و 27 و 35. أولاً، نجمع هذه القيم لإيجاد مجموعها:
12 + 22 + 24 + 27 + 35 = 120
ثم نأخذ هذا المجموع ونقسمه على عدد القيم (5):
120 ÷ 5 = 24
النتيجة = 24، هي متوسط عمر الأفراد الخمسة.
إقرأ أيضاً… حيل وخدع مذهلة في الرياضيات.
المنوال (Mode)، الوسيط (Median)، والمتوسط (Mean).
المتوسط (Mean)، ليس هو المقياس الوحيد للاتجاه المركزي، على الرغم من أنه أحد أكثر المقاييس شيوعًا. المقاييس الشائعة الأخرى هي الوسيط (Median) والمنوال (Mode).
الوسيط هو القيمة الوسطى في مجموعة معينة، أو القيمة التي تفصل النصف الأعلى عن النصف السفلي. في المثال أعلاه، متوسط العمر بين الأفراد الخمسة هو 24، وهي القيمة التي تقع بين النصف الأعلى (27، 35) والنصف السفلي (12، 22).
في حالة مجموعة البيانات هذه، يكون الوسيط والمتوسط هو نفسه، ولكن هذا ليس هو الحال دائمًا. على سبيل المثال، إذا كان أصغر فرد في المجموعة يبلغ 7 أعوام بدلاً من 12 عامًا، فسيكون متوسط العمر 23 عامًا. ومع ذلك، سيظل الوسيط 24.
بالنسبة للإحصائيين، يمكن أن يكون الوسيط مقياسًا مفيدًا للغاية، خاصةً عندما تكون مجموعة البيانات يحتوي على قيم متطرفة أو قيم تختلف اختلافًا كبيرًا عن القيم الأخرى في المجموعة.
في المثال أعلاه، كل الأفراد في نطاق 25 عامًا من بعضهم البعض. ولكن ماذا لو لم يكن الأمر كذلك؟ ماذا لو كان الشخص الأكبر سنًا يبلغ من العمر 85 عامًا بدلاً من 35 عامًا؟
سيؤدي هذا الخارج إلى رفع متوسط العمر إلى 34، وهي قيمة أكبر من 80 في المائة من القيم في المجموعة. بسبب هذا الانحراف، لم يعد المتوسط الرياضي يمثل تمثيلًا جيدًا للأعمار في المجموعة. وسيط 24 هو مقياس أفضل بكثير.
المنوال هو القيمة الأكثر شيوعًا في مجموعة البيانات، أو القيمة التي من المرجح أن تظهر في عينة إحصائية.
في المثال أعلاه، لا يوجد وضع لأن كل قيمة فردية فريدة. ومع ذلك، في عينة أكبر من الناس، من المحتمل أن يكون هناك العديد من الأفراد من نفس العمر، وسيكون السن الأكثر شيوعًا هو المنوال.
إقرأ أيضاً… شرح المعادلات المتكافئة في الرياضيات.
المعدل الموزون في الرياضيات.
في المعدل العادي، يتم التعامل مع كل قيمة في مجموعة بيانات معينة على قدم المساواة. بعبارة أخرى، تساهم كل قيمة بقدر مساهمة القيم الأخرى في المعدل النهائي.
ومع ذلك، في المعدل الموزون، يكون لبعض القيم تأثير أكبر على المتوسط النهائي من غيرها.
على سبيل المثال، تخيل أن محفظة أسهم تتكون من ثلاثة أسهم مختلفة: الأسهم أ، والأسهم ب، والأسهم ج.
على مدار العام الماضي، نمت قيمة السهم أ بنسبة 10 في المائة، ونمت قيمة السهم ب بنسبة 15 في المائة، ونمت قيمة السهم ج بنسبة 25 في المائة.
يمكننا حساب متوسط النسبة المئوية للنمو عن طريق جمع هذه القيم وتقسيمها على ثلاثة. لكن هذا لن يخبرنا إلا بالنمو الإجمالي للمحفظة إذا كان المالك يمتلك كميات متساوية من الأسهم أ، والأسهم ب، والأسهم ج.
تحتوي معظم المحافظ، بالطبع، على مزيج من الأسهم المختلفة، بعضها يشكل نسبًا أكبر من محفظة من غيرها. للعثور على النمو الإجمالي للمحفظة، نحتاج إذن إلى حساب المتوسط المرجح بناءً على مقدار كل سهم محتفظ به في المحفظة.
على سبيل المثال، سنقول أن الأسهم “أ” تشكل 20 بالمائة من المحفظة، والسهم “ب” يشكل 10 بالمائة، والسهم “ج” يشكل 70 بالمائة.
نرجح قيمة كل قيمة نمو بضربها في نسبتها المئوية من المحفظة:
- السهم أ = نمو بنسبة 10 في المائة × 20 في المائة من المحفظة = 200
- السهم ب = نمو بنسبة 15 في المائة × 10 في المائة من المحفظة = 150
- السهم ج = نمو بنسبة 25 في المائة × 70 في المائة من المحفظة = 1750
ثم نجمع هذه القيم المرجحة ونقسمها على مجموع قيم النسبة المئوية للمحفظة:
(200 + 150 + 1750) (20 + 10 + 70) = 21
تمثل النتيجة، 21 في المائة، النمو الإجمالي للمحفظة. لاحظ أنه أعلى من متوسط قيم النمو الثلاثة وحدها – 16.67 – وهو أمر منطقي نظرًا لأن الأسهم الأعلى أداءً تشكل أيضًا نصيب الأسد من المحفظة.