ما هي الأعداد الحقيقية؟ هناك أنواع مختلفة من الأرقام، ولكل منها خصائصها الخاصة. يُطلق على نوع واحد من الأرقام، الذي تستند إليه الإحصائيات والاحتمالات والكثير من الرياضيات، عدد حقيقي. لمعرفة ما هو العدد الحقيقي، سنقوم أولاً بالحديث عن أنواع أخرى من الأعداد.
أنواع الأعداد في الرياضيات.
نتعلم أولاً عن الأرقام من أجل العد. بدأنا بتعلم الأرقام 1 و 2 و 3 بأصابعنا. ثم واصلنا الصعود إلى أعلى مستوى ممكن، والذي ربما لم يكن بهذا الارتفاع.
كانت هذه الأعداد العد أو الأعداد الطبيعية هي الأرقام الوحيدة التي عرفناها.
في وقت لاحق، عند التعامل مع الطرح، تم إدخال الأعداد الصحيحة السالبة. تسمى مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة مجموعة الأعداد الصحيحة.
بعد ذلك بفترة وجيزة، تم النظر في الأعداد المنطقية، والتي تسمى أيضًا الكسور. بما أنه يمكن كتابة كل عدد صحيح في صورة كسر مع 1 في المقام، فإننا نقول إن الأعداد الصحيحة تشكل مجموعة فرعية من الأرقام المنطقية.
أدرك الإغريق القدماء أنه لا يمكن تشكيل كل الأرقام على هيئة كسر. على سبيل المثال، لا يمكن التعبير عن الجذر التربيعي للعدد 2 في صورة كسر. تسمى هذه الأنواع من الأرقام أرقامًا غير منطقية.
تكثر الأعداد غير المنطقية، ومن المدهش نوعًا ما إلى حد ما أن هناك أعدادًا غير منطقية أكثر من الأرقام المنطقية. تشمل الأرقام غير المنطقية الأخرى pi و e.
التوسعات العشرية.
يمكن كتابة كل رقم حقيقي في صورة عدد عشري. الأنواع المختلفة من الأعداد الحقيقية لها أنواع مختلفة من التوسعات العشرية.
يتم إنهاء التوسع العشري لرقم منطقي، مثل 2 أو 3.25 أو 1.2342 أو تكرار مثل .33333. . . أو 123123123. . . على النقيض من ذلك، فإن التوسع العشري لعدد غير منطقي لا ينتهي ولا يتكرر.
يمكننا أن نرى هذا في التوسع العشري للرقم باي pi. هناك سلسلة من الأرقام لا تنتهي أبدًا لـ pi، والأكثر من ذلك، لا توجد سلسلة من الأرقام تكرر نفسها إلى أجل غير مسمى.
تصوّر الأرقام الحقيقية.
يمكن تصور الأرقام الحقيقية بربط كل منها بواحدة من عدد لا نهائي من النقاط على طول خط مستقيم. الأعداد الحقيقية لها ترتيب، مما يعني أنه لأي رقمين حقيقيين متميزين يمكننا القول أن أحدهما أكبر من الآخر.
حسب الاصطلاح، فإن الانتقال إلى اليسار على طول خط الأعداد الحقيقي يتوافق مع الأرقام الأصغر والأصغر. الانتقال إلى اليمين على طول خط الأعداد الحقيقي يتوافق مع أعداد أكبر وأكبر.
إقرأ أيضاً… حيل وخدع مذهلة في الرياضيات.
الخصائص الأساسية للأرقام الحقيقية.
الأرقام الحقيقية تتصرف مثل الأرقام الأخرى التي اعتدنا التعامل معها. يمكننا جمعها وطرحها وضربها وقسمتها (طالما أننا لا نقسمها على صفر).
ترتيب الجمع والضرب غير مهم، حيث توجد خاصية تبادلية. تخبرنا خاصية التوزيع عن كيفية تفاعل الضرب والجمع مع بعضهما البعض.
كما ذكرنا من قبل، فإن الأرقام الحقيقية لها ترتيب. بالنظر إلى أي عددين حقيقيين x و y، نعلم أن واحدًا واحدًا فقط مما يلي صحيح:
x = y أو x < y أو x > y
خاصية الاكتمال.
الخاصية التي تحدد الأعداد الحقيقية بصرف النظر عن مجموعات الأرقام الأخرى، مثل الأسباب المنطقية، هي خاصية تُعرف باسم الاكتمال.
يُعد الاكتمال أمرًا تقنيًا بعض الشيء لتفسيره، لكن الفكرة البديهية هي أن مجموعة الأرقام المنطقية بها فجوات فيها. مجموعة الأعداد الحقيقية ليس بها أي فجوات، لأنها كاملة.
كتوضيح، سوف ننظر إلى تسلسل الأعداد النسبية 3 ، 3.1 ، 3.14 ، 3.141 ، 3.1415 ،. . . كل مصطلح من هذا التسلسل هو تقريب لـ pi، يتم الحصول عليه عن طريق اقتطاع التوسع العشري لـ pi. تقترب شروط هذا التسلسل من pi.
ومع ذلك، كما ذكرنا، فإن pi ليس رقمًا منطقيًا. نحتاج إلى استخدام الأعداد غير النسبية لسد ثقوب خط الأعداد التي تحدث من خلال النظر فقط في الأعداد المنطقية.
إقرأ أيضاً… شرح المصفوفات في الرياضيات.
كم عدد الأعداد الحقيقية؟
لا ينبغي أن يكون مفاجئًا وجود عدد لا حصر له من الأرقام الحقيقية. يمكن رؤية هذا بسهولة إلى حد ما عندما نعتبر أن الأعداد الصحيحة تشكل مجموعة فرعية من الأعداد الحقيقية.
يمكننا أيضًا رؤية ذلك من خلال إدراك أن خط الأعداد يحتوي على عدد لا نهائي من النقاط. المثير للدهشة هو أن اللانهاية المستخدمة في حساب الأعداد الحقيقية هي من نوع مختلف عن اللانهاية المستخدمة في حساب الأعداد الصحيحة.
الأعداد الصحيحة والأعداد الصحيحة والعقلانية لا حصر لها. مجموعة الأعداد الحقيقية لا حصر لها.
لماذا نسميها الأعداد الحقيقية؟
تحصل الأعداد الحقيقية على أسمائها لتمييزها عن التعميم الإضافي لمفهوم العدد. تم تعريف الرقم التخيلي i على أنه الجذر التربيعي لسالب واحد.
أي رقم حقيقي مضروب في i يُعرف أيضًا بالرقم التخيلي. تعمل الأرقام الخيالية بالتأكيد على توسيع مفهومنا عن العدد، لأنها لم تكن على الإطلاق ما فكرنا به عندما تعلمنا العد لأول مرة.
